贈与の対象になるのか

父名義のクレジットカードを使い、ネットショッピングをした場合、

質問１　支払人は父、受取人は子供になりますが、その場合は、その商品は父からの贈与に値しますか？
質問２　それとも、商品の所有者は父ですか？
質問３　仮に父が亡くなった場合、それらの商品は父の財産として相続の対象として加算されますか？

一般的な事例と考えて回答させていただきます。
質問１
贈与になります。お父様の名義のクレジットカードはお父様しか使用できませんので、その取得もお父様がされたと考えるのが自然です。無断で使用しているわけではないことが前提ですが、お父様が取得した商品をあなたが贈与されたと考えるのが自然と思われます。ただ、その代金をお父様に支払うなどの事情があれば、そのような考え方はしなくて結構です。
質問２
商品の所有者はご本人になるのではないでしょうか。どういう物品かはわかりませんが、普通は、その物を持っている人が所有者となります。
質問３
あなたのおっしゃるとおり生前贈与加算されることになります。